Ваш психолог. Работа психолога в школе.

Применение статистических методов в психологических измерениях

В каждой метрической шкале применяются определенные статистические методы. Параметрическая статистика применяется в интервальной и более мощных шкалах.

Распределение эмпирических данных

В ходе любого социального или психологического исследования, связанного с применением статистики и теории вероятностей, проводится изучение большого числа людей, их признакового пространства, для того чтобы сделать обобщения и типологические выводы относительно всей или части наблюдаемой популяции. Эта популяция в психометрии (и в других точных математических дисциплинах) называется генеральной совокупностью. Психолог не в состоянии изучить свойства всей популяции. Поэтому он работает с выборкой (частью популяции, группой), а выводы с учетом определенных процессуальных правил распространяет на всю генеральную совокупность. Таким образом, исследователь, изучая свойства относительно небольшой группы, получает знание о свойствах генеральной совокупности. Согласно теореме Бернулли "при бесконечном увеличении объема выборки эмпирическое распределение по вероятности стремится к распределению теоретическому".
Характеристики распределения генеральной совокупности называются параметрами, а характеристики выборочного распределения — оценками параметров. Для применения методов параметрической статистики осуществляется процедура определения вида статистического распределения эмпирических данных.

Метод наименьших квадратов в сочетании с гауссовским (нормальным) распределением эмпирических данных служит основой классической статистики. Предположения о нормальном распределении данных имеют "модельный" характер. На деле они не могут выполняться абсолютно точно.
Статистические выводы, составленные на основе модели, приближенной к нормальному распределению, также имеют более или менее приближенный характер. Оценка "приближенности" практической кривой к параметрам нормали осуществляется при помощи расчета а) асимметрии и эксцесса и б) критериев согласия Пирсона (Хи-квадрат), Колмогорова (1933) и Ястремского (1949). В первом случае оценивается положение вершины практической кривой относительно теоретической, во втором — определенных "участков" (групп частот) практической кривой относительно теоретической нормали.
Коэффициент асимметрии (As) показывает величину смещения вершины эмпирической кривой относительно расчетной вершины по горизонтали (вправо "+"; влево "-"). и рассчитывается по следующим формулам:

Допустимые пределы отклонений от теоретической кривой, когда возможно применение методов параметрической статистики (среднее, С.К.О., коэффициенты корреляции и т.п.) определяются согласно неравенствам П.Л. Чебышева.

Применение непараметрической и параметрической статистики при обработке эмпирических данных

Методы непараметрической статистики применяются в тех случаях, когда показатели тестов распределены ненормально или распределение неизвестно. Существует определение: "Непараметрические методы статистики - методы математической статистики, не предполагающие знание функционального вида генеральных распределений". Распространение методов непараметрической статистики сдерживается отсутствием учебных пособий по этому предмету. История непараметрических методов начинается с использования критериев знаков Арбетноттом в 1710 г. Во второй половине XIX в. Фехнер и Гальтон стали применять ранги и коэффициенты ранговой корреляции. Работами Спирмена (1904) к ранговым методам было привлечено внимание научной общественности, а работы Колмогорова (1933), Смирнова(1935), Уилкоксона (1945), Сигеля (1956) и др. создали непараметрическую статистику как самостоятельную ветвь математической статистики.
Для определения статистических зависимостей в непараметрической статистике предназначены:

• мода (Мо);
• медиана (Ме);
• критерии Манна-Уитни, Уилкоксона, Хи-квадрат;
• коэффициенты ассоциации (Ф) и контингенции (Q);
• преобразованный коэффициент корреляции Пирсона (φ);
• коэффициент сопряженности Пирсона (С) (для больших выборок);
• коэффициент сопряженности Чупрова (К) (для Mx N-клеточной сопряженности);
• коэффициент ранговой корреляции Спирмена (Rs) и др.

В практической работе психологов и, в частности, в профотборе для статистической оценки связей эмпирических переменных используют следующие коэффициенты:

а) в шкале наименований: коэффициент согласия Пирсона (χ2), коэффициенты контингенции (Q) и ассоциации (Ô) (для 4-клеточной сопряженности), коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона (С) и Чупрова (К) (для mх n-клеточной сопряженности).

б) в шкале порядков: коэффициент ранговой корреляции Спирмена (Rs).

в) меры центральной тенденции:

• Мода (Мо) - наиболее вероятное появление показателя.
• Медиана (Ме) - вариант, приходящийся на середину ранжированного вариационного ряда.

г) меры связи и статистического вывода:

• Критерий Манна -Уитни основан на парном сравнении результатов из первой и второй выборок.
• Критерий Уилкоксона эквивалентен критерию Манна -Уитни и основан на переходе от наблюдений к их рангам.
• Коэффициент согласия Пирсона (χ2) основан на приближении частоты проявления признака в различных выборках, измеренного в номинальной шкале. Расчет осуществляется по формуле:

χ2 = Σ (ni1 — ni2)2 / ni2 ,

где ni1 - частоты тестовых данных: частота (Р1) проявления свойства у первого испытуемого;
ni2  - частоты тестовых данных: частота (Р2) проявления свойства у второго испытуемого.

6) Для определения статистической связи переменных, измеренных в дихотомической шкале наименований, используются коэффициенты контингенции (Q) и ассоциации (Ô).

Теоретическая интерпретация коэффициента ранговой корреляции Спирмена Rs идентична любой статистике из области измерения связей переменных. Если значение Rs более 0.5, то имеет место статистически сильная связь, если менее 0.5 — слабая. Положительные и отрицательные знаки показывают направленность связи (соответственно, прямая и обратная).

Параметрическая статистика применяется в тех случаях, когда тестовые показатели измерены в интервальной шкале, шкале отношений или абсолютной шкале при соблюдении распределения Гаусса. В данном случае применяются методы анализа данных при помощи моды, медианы и среднего (Мо; Ме; Мх) [меры центральной тенденции], дисперсии и среднего квадратического отклонения (Dх ; δх), коэффициента вариации (V) [меры изменчивости], коэффициента корреляции Пирсона (Rxy)[меры связи], t-критерия Стъюдента, υ-критерия Уэлша, F-критерия Фишера [статистический вывод] и психодиагностического прогнозирования при помощи методов линейной и нелинейной регрессии [модели регрессии].

Статистические методы применяются в определенном доверительном интервале, который задается исходя из потребностей точности измерений. Доверительным интервалом называется интервал (X ± e), который "накрывает" неизвестный параметр с заданной точностью. В биологических и социальных исследованиях максимальное значение e задается в пределах 5%. То есть e £ 0.05.

8) Основной мерой центральной тенденции в параметрическом измерении является среднее значение - математическое ожидание (Мх). Это сумма всех измеренных значений свойства, отнесенное к количеству этих измерений.

9) Изменчивость признаков в параметрических шкалах измеряется при помощи дисперсии и среднего квадратического отклонения (δх). Среднее квадратическое отклонение определяется как арифметическое значение квадратного корня из дисперсии - среднего арифметического квадратов отклонений отдельных значений измеренного свойства от их среднего значения.

10) Коэффициент корреляции Пирсона (Rxy) показывает наличие статистической связи между психологическими переменными х и у, при которой каждой переменной х соответствует не одно или несколько определенных значений у, а распределение у, меняющееся вместе с изменением х, которое может быть однонаправленным (+) и разнонаправленным (-).

где xi - значение показателя первой переменной;
yi - значение показателя второй переменной;
N - объем выборки.

Теоретическая интерпретация коэффициента корреляции Пирсона Rxy подобна другим статистикам из области измерения связей между переменными. Если значение Rxy более 0.5, то имеет место статистически сильная связь, если менее 0.5 — слабая. Положительные и отрицательные знаки показывают направленность связи (соответственно, прямая и обратная).

11) При определенном количестве измерений (n) корреляционные связи могут быть значимыми и незначимыми. Исследователю необходимо это знать для того, чтобы сделать достоверный вывод о причинно-следственных связях переменных. Уровень значимости коэффициентов корреляции определяется по формуле расчета t-критерия при помощи таблиц "Квантилей t-распределения Стъюдента для доверительной вероятности".

где R — численное значение коэффициента корреляции;
n — объем выборки.

12) Точечный биссериальный коэффициент корреляции Пирсона (Rpb) — метод корреляционного анализа отношения переменных, одна из которых измерена в дихотомической шкале наименований, а другая — в интервальной шкале отношений или порядка. Точечно-биссериальный коэффициент корреляции применяется также для определения дискриминативности заданий тестов.

Rpb = [(Mx — Mо) / δx] √ n1 nо / n (n — 1),

где Mx - среднее по Х объектов со значением 1 по Y;
Mо - среднее по Х объектов со значением 0 по Y;
δ x - стандартное отклонение всех значений по Х;
n1 - число объектов с 1 по Y;
nо - число объектов с 0 по Y;
n - общее число объектов.
Интервал измерения Rpb от –1 до +1. Теоретическая интерпретация значений подобна Rxy.

13) Расчет коэффициентов корреляции является инструментом, позволяющим осуществить корреляционный, факторный и кластерный анализ эмпирических данных.
Корреляционный анализ — метод исследования взаимозависимости признаков в генеральной совокупности, являющихся случайными величинами, имеющими нормальное многомерное распределение. Для наглядности интеркорреляционные показатели представляются в виде таблиц корреляций переменных, матриц и графов.
Факторный анализ — раздел многомерного статистического анализа, сущность которого заключается в выявлении непосредственно неизмеряемого признака, являющегося "главной компонентой" (производной) группы измеренных тестовых показателей.
Кластерный анализ — совокупность статистических (и иных, в том числе качественных) методов, предназначенных для дифференциации относительно отдаленных друг от друга групп и близких между собой объектов по информации о связях (мерах близости) между ними.

14) t-критерий Стъюдента, υ-критерий Уэлша, F-критерий Фишера представляют собой методы статистического вывода о наличии значимой связи между признаками или выявления признака, характеризующего генеральную совокупность. На практике они применяются для оценки подобия двух групп испытуемых, у которых измерены определенные свойства, по средней и дисперсии тестовых данных. t-критерий в отличие от υ-критерия применяется в ситуации равенства средних квадратических отклонений. F-критерий определяет подобие выборок по дисперсии их эмпирических переменных.

где Мх - средние значения тестовых данных;
n - количество испытуемых;
δ - среднеквадратическое отклонение.

Анализ результатов исследования при помощи t -критерия осуществляется по следующему алгоритму:
а) производится расчет значений t-критерия;
б) по количеству испытуемых осуществляется вход в таблицу "Квантилей t-распределения Стъюдента..."(см. табл.);
в) значение расчетного t-критерия (tp) сравнивается с табличным значением (tт);
г) если tp > tт, то выборки значимо различаются на уровне доверительной вероятности;
д) если tp < tт, то группы испытуемых принадлежат одной совокупности.

Стандартизация тестовых показателей

Стандартизацией называется процесс унификации, регламентации, приведения к единым нормативам процедуры психодиагностики и тестовых показателей. При помощи стандартизации осуществляется сопоставление экспериментальных данных, полученных при помощи методик различной размерности. В результате обработки тестовых показателей получают сырые баллы, которые переводятся в стандартные оценки, составленные в соответствии с законом нормального распределения.
Различаютдве формы стандартизации. Во-первых, под стандартизацией понимаются обработка данных, регламентация процедуры проведения тестирования и его периодичности, унификация инструкции и бланков, способов регистрации результатов, стандартность условий проведения обследования, характеристик контингента обследуемых и т. д.
Во-вторых, стандартизацией принято называть преобразование нормальной (или искусственно нормализованной) шкалы оценок в новую шкалу, основанную на определении места сырой оценки испытуемого в распределении показателей теста в репрезентативной выборке.
Наиболее распространенными преобразованиями в психометрике первичных оценок являются центрирование и нормирование посредством среднеквадратических отклонений. Центрирование — это линейная трансформация величин измеренного признака, при которой средняя величина распределения становится равной нулю. Процедура нормирования заключается в переходе к другому масштабу (единицам) измерения (Sc), который базируется на принципе нормальности распределения эмпирических показателей при переходе к стандартным величинам и осуществляется по формуле:
Sc = (х i — Мх / δх) A + M,
где х i - величина показателя теста;
Мх  - среднее арифметическое показателей;
δх - среднее квадратичное отклонение показателей;
А - заданное среднее квадратическое отклонение;
М - заданное среднее значение.
В качестве функции Sc обычно используют Z-показатель (стандартный показатель), выражающий отклонение индивидуального результата, хi в единицах, пропорциональных стандартному отклонению единичного нормального распределения. То есть М = 0; А = 1. Z-показатель (z) определяется по формуле:
z = х i - Мх /δх.
На практике психологи наиболее часто используют накопленные проценты (в шкале наименований); процентили (перцентили) — типичные стандартные оценки (М = 50, А = 34); стандартные IQ-баллы (М = 100, А = 15); T-показатели (М = 50, А = 10) и стеновую шкалу (М = 5.5, А = 2).

[1] [2] [3] [4] [5]