На главную Лекции и практикум по психологии Разное по психологии Математические методы обработки психологических данных - Меры изменчивости
Математические методы обработки психологических данных - Меры изменчивости
Лекции и практикум по психологии - Разное по психологии
Индекс материала
Математические методы обработки психологических данных
Шкалы измерений
Табулирование данных
Квантиль
Меры центральной тенденции
Меры изменчивости
Нормальное распределение
Предварительный анализ выборки
Сравнение средних значений
Сравнение дисперсий
Значимость коэффициента корреляции
Коэффициент ранговой корреляции Кендалла
Бисериальный коэффициент корреляции (БКК)
Однофакторный анализ (ОФА)
Двухфакторный анализ
Проверка нормальности распределения исходных данных
Все страницы

10. МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ

Меры центральной тенденции позволяют нам судить о концентрации наших исходных данных на числовой оси. Каждая такая мера дает значение, которое представляет в каком-то смысле все элементы выборки. В этой ситуации фактически пренебрегают различиями, существующими между отдельными элементами выборки. Поэтому для учета таких различий будем использовать некоторые другие описательные статистики, которые называются мерами изменчивости (рассеяния, разброса). Самой простой мерой изменчивости является размах выборки, для вычисления которого необходимо из максимального элемента выборки вычесть минимальный. R=xmax-xmin
Т.к. размах определяется только двумя элементами выборки, то он не учитывает распределения остальных элементов выборки. Пример: пусть первая выборка содержит значения, равномерно распределенные от 1 до 10. И всего таких значений 100. Вторая выборка содержит также 100 значений, но одно из них равно единице, еще одно равно 10, а остальные 98 значений равны 5.
1) 1….1 2….2 … 10….10
10 10 10

2) 55….55 10
98
R1выб.=10-1=9 R2выб.=10-1=9
Иногда в качестве меры изменчивости используют интерквартильный размах (между квартилями).
Q=Q3-Q1

формула10

Интерквартильный размах используется достаточно редко. Наиболее популярной мерой изменчивости является дисперсия.
х1, х2, …, хn
n
(xi-x)=0
i=1

Дисперсия.

Для учета различий между отдельными элементами выборки в качестве меры изменчивости можно было бы взять сумму отклонений каждого элемента выборки от среднего значения выборки. Однако вследствие того, что эти отклонения могут быть как положительными, так и отрицательными, то их сумма для любой выборки всегда равна 0.
Поэтому вместо суммы отклонений можно рассмотреть сумму квадратов отклонений. Однако и в этом случае имеется недостаток: такая сумма сохраняет зависимость от количества элементов в выборке. Для устранения этого недостатка мы должны были бы разделить сумму квадратов отклонений на количество элементов выборки, т.е. n, но в статистике эту сумму делят не на n, a нa n-1.

Для получения более точной меры изменчивости, которая

2
называется дисперсией Sx и вычисляется по формуле:
2 n 2
Sx=( (xi-x)) : (n-1)
i=1
n 2 2 2 2
(xi-x) = (x1-x) + (x2-x) +...+ (xn-x) (сумма квадратов отклонений)
i=1
Чем больше дисперсия выборки, тем больше разбросаны наши исходные значения по числовой оси относительно среднего значения выборки. Пример вычисления дисперсии: вычислить дисперсию для следующей выборки: 1, 3, 3, 0, 4, 1. Составим расчетную таблицу:

xi

xi-x

(xi-x)

1
3
3
0
4
1

1-2=-1
3-2=1
3-2=1
0-2=-2
4-2=2
1-2=-1

1
1
1
4
4
1

 

=0

=12

 

x= (1+3+3+0+4+1):6=2
2
Sx=12: (6-1)=12:5=2,4
На практике даже для выборки, которая состоит из целых чисел, может оказаться, что среднее значение является не целым числом. В результате этого отклонения тоже будут являться дробными числами, которые нам нужно возводить в квадрат. Поэтому для упрощения вычислений на практике используют следующую формулу:

2 n 2 n 2
Sx= (n xi – ( xi) ): n (n-1)
i=1 i=1

n 2 2 2 2
xi =x1 +x2 +…+xn
i=1

n 2 2
( xi) = (x1+x2+...+xn)
i=1

Вычислим дисперсию для рассмотренной выше выборки:

xi

хi

1
3
3
0
4
1

1
9
9
0
16
1

xi=12

xi =36

2 Sx = (6 36 – (12) : 6 (6-1) =
= (216-144) : 6 5=72 :30=2,4

Лучше всего вычислять дисперсию с помощью компьютера, используя встроенную функцию Excel (мастер функций), которая называется Дисп (исходный диапазон).

Свойства дисперсии.
1.Если выборка состоит из одного и того же значения, то дисперсия

 

2
этой выборки будет равна 0. 12, 12, 12, 12, 12. Sx=0. Дисперсия такой выборки равна 0. Дисперсия является неотрицательной величиной, поэтому
2
Sx= -2,12 – не бывает.
2. Если каждый элемент выборки умножить на одну и ту же
2
величину с, то дисперсия выборки изменится в с раз.
2 2
3. Sнов.= с Sстар. хнов.= с хстар.
Пример: вычислить дисперсию следующей выборки: 102, 106, 111, 112, 112, 114, 115, 115, 116, 119, 120, 122. n=12.

xi

yi=xi-112

yi

102
106
111
112
112
114
115
115
116
119
120
122

-10
-6
-1
0
0
2
3
3
4
7
8
10

100
36
1
0
0
4
9
9
16
49
64
100

 

yi=20

yi=338

2 n 2 n 2
Sy= (n yi-( yi) ) : n(n-1)= (12
i=1 i=1
2
338-(20) ):12 (12-1)= (4656-

400):12 11=4256:132=32,24.

В данном случае вычтем из каждого элемента выборки одну и ту же величину, равную 112.

Стандартное отклонение.
Меры изменчивости тесно связаны с дисперсией – является стандартное отклонение, которое обычно обозначается Sx (сигма). Оно определяется как положительное значение квадратного корня из дисперсии.
2
Sx = Sx
Стандартное отклонение часто используется для оценки диапазона изменения наших исходных данных. Для этого применяется правило «трех стандартных отклонений»: 99,5% исходных данных находится в интервале от х – 3 Sx до х + 3 Sx.
х1, х2, …, хn

формула11

 

x – 3 Sx x x + 3 Sx

x=110; Sx=9; x – 3 Sx = 110 – 3 9 =83; x + 3 Sx = 110 + 3 9 =137 ; (83 ; 137) 142 0,5% (отклонение от стандартного отклонения).
Стандартное отклонение может быть использовано также в процедуре преобразования исходных данных, которая получила название стандартизации. Чаще всего она применяется для «сырых» баллов.
Пусть в ходе эксперимента получили выборку х1, х2, …, хn, где значения представляют собой сырые баллы. Для другого теста можно получить аналогичные данные, однако часто бывает, что шкала тестов различается по диапазону. Для того, чтобы можно было сравнить полученные данные по различным шкалам и применяют процедуру стандартизации. В результате ее получается новая выборка: z1, z2, …, zn.
zi= (xi-x):Sx , где xi , где xi - среднее значение первоначальной выборки; Sx – стандартное отклонение этой выборки (использование компьютера – мастер функций).
В результате новые стандартизованные данные будут иметь среднее значение, равное 0, а стандартное отклонение – 1, независимо от исходных данных, (т.е.шкалы): z=0; Sz=1.



 

Поиск

Яндекс.Метрика
Все права защищены. При при копировании материалов сайта, обратная ссылка, обязательна! Варианты ссылок:
HTML код:

Код для форумов:


Уважаемые пользователи и посетители сайта!
Спасибо за то, что вы присылаете материал на сайт «Ваш психолог. Работа психолога в школе» по адресу sait.vashpsixolog собачка mail.ru Убедительная просьба, обязательно указывайте автора или источник материала. На многих материалах авторство потеряно, и, если вы, являетесь автором одного из них, пришлите письмо с точной ссылкой на материал. Если на ваше письмо, вы не получили ответ, напишите еще раз, т.к. письма иногда попадают в спам и не доходят.
Смотрите внимательно: авторство или источник указываются, чаще всего, в конце материала (если материал разбит на страницы, то на последней).
С уважением, администрация.