Ваш психолог. Работа психолога в школе.

10. МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ

Меры центральной тенденции позволяют нам судить о концентрации наших исходных данных на числовой оси. Каждая такая мера дает значение, которое представляет в каком-то смысле все элементы выборки. В этой ситуации фактически пренебрегают различиями, существующими между отдельными элементами выборки. Поэтому для учета таких различий будем использовать некоторые другие описательные статистики, которые называются мерами изменчивости (рассеяния, разброса). Самой простой мерой изменчивости является размах выборки, для вычисления которого необходимо из максимального элемента выборки вычесть минимальный. R=xmax-xmin
Т.к. размах определяется только двумя элементами выборки, то он не учитывает распределения остальных элементов выборки. Пример: пусть первая выборка содержит значения, равномерно распределенные от 1 до 10. И всего таких значений 100. Вторая выборка содержит также 100 значений, но одно из них равно единице, еще одно равно 10, а остальные 98 значений равны 5.
1) 1….1 2….2 … 10….10
10 10 10

2) 55….55 10
98
R1выб.=10-1=9 R2выб.=10-1=9
Иногда в качестве меры изменчивости используют интерквартильный размах (между квартилями).
Q=Q3-Q1

Интерквартильный размах используется достаточно редко. Наиболее популярной мерой изменчивости является дисперсия.
х1, х2, …, хn
n
(xi-x)=0
i=1

Дисперсия.

Для учета различий между отдельными элементами выборки в качестве меры изменчивости можно было бы взять сумму отклонений каждого элемента выборки от среднего значения выборки. Однако вследствие того, что эти отклонения могут быть как положительными, так и отрицательными, то их сумма для любой выборки всегда равна 0.
Поэтому вместо суммы отклонений можно рассмотреть сумму квадратов отклонений. Однако и в этом случае имеется недостаток: такая сумма сохраняет зависимость от количества элементов в выборке. Для устранения этого недостатка мы должны были бы разделить сумму квадратов отклонений на количество элементов выборки, т.е. n, но в статистике эту сумму делят не на n, a нa n-1.

Для получения более точной меры изменчивости, которая

2
называется дисперсией Sx и вычисляется по формуле:
2 n 2
Sx=( (xi-x)) : (n-1)
i=1
n 2 2 2 2
(xi-x) = (x1-x) + (x2-x) +...+ (xn-x) (сумма квадратов отклонений)
i=1
Чем больше дисперсия выборки, тем больше разбросаны наши исходные значения по числовой оси относительно среднего значения выборки. Пример вычисления дисперсии: вычислить дисперсию для следующей выборки: 1, 3, 3, 0, 4, 1. Составим расчетную таблицу:

x= (1+3+3+0+4+1):6=2
2
Sx=12: (6-1)=12:5=2,4
На практике даже для выборки, которая состоит из целых чисел, может оказаться, что среднее значение является не целым числом. В результате этого отклонения тоже будут являться дробными числами, которые нам нужно возводить в квадрат. Поэтому для упрощения вычислений на практике используют следующую формулу:

2 n 2 n 2
Sx= (n xi – ( xi) ): n (n-1)
i=1 i=1

n 2 2 2 2
xi =x1 +x2 +…+xn
i=1

n 2 2
( xi) = (x1+x2+...+xn)
i=1

Вычислим дисперсию для рассмотренной выше выборки:

2 Sx = (6 36 – (12) : 6 (6-1) =
= (216-144) : 6 5=72 :30=2,4

Лучше всего вычислять дисперсию с помощью компьютера, используя встроенную функцию Excel (мастер функций), которая называется Дисп (исходный диапазон).

Свойства дисперсии.
1.Если выборка состоит из одного и того же значения, то дисперсия

2
этой выборки будет равна 0. 12, 12, 12, 12, 12. Sx=0. Дисперсия такой выборки равна 0. Дисперсия является неотрицательной величиной, поэтому
2
Sx= -2,12 – не бывает.
2. Если каждый элемент выборки умножить на одну и ту же
2
величину с, то дисперсия выборки изменится в с раз.
2 2
3. Sнов.= с Sстар. хнов.= с хстар.
Пример: вычислить дисперсию следующей выборки: 102, 106, 111, 112, 112, 114, 115, 115, 116, 119, 120, 122. n=12.

2 n 2 n 2
Sy= (n yi-( yi) ) : n(n-1)= (12
i=1 i=1
2
338-(20) ):12 (12-1)= (4656-

400):12 11=4256:132=32,24.

В данном случае вычтем из каждого элемента выборки одну и ту же величину, равную 112.

Стандартное отклонение.
Меры изменчивости тесно связаны с дисперсией – является стандартное отклонение, которое обычно обозначается Sx (сигма). Оно определяется как положительное значение квадратного корня из дисперсии.
2
Sx = Sx
Стандартное отклонение часто используется для оценки диапазона изменения наших исходных данных. Для этого применяется правило «трех стандартных отклонений»: 99,5% исходных данных находится в интервале от х – 3 Sx до х + 3 Sx.
х1, х2, …, хn

x – 3 Sx x x + 3 Sx

x=110; Sx=9; x – 3 Sx = 110 – 3 9 =83; x + 3 Sx = 110 + 3 9 =137 ; (83 ; 137) 142 0,5% (отклонение от стандартного отклонения).
Стандартное отклонение может быть использовано также в процедуре преобразования исходных данных, которая получила название стандартизации. Чаще всего она применяется для «сырых» баллов.
Пусть в ходе эксперимента получили выборку х1, х2, …, хn, где значения представляют собой сырые баллы. Для другого теста можно получить аналогичные данные, однако часто бывает, что шкала тестов различается по диапазону. Для того, чтобы можно было сравнить полученные данные по различным шкалам и применяют процедуру стандартизации. В результате ее получается новая выборка: z1, z2, …, zn.
zi= (xi-x):Sx , где xi , где xi - среднее значение первоначальной выборки; Sx – стандартное отклонение этой выборки (использование компьютера – мастер функций).
В результате новые стандартизованные данные будут иметь среднее значение, равное 0, а стандартное отклонение – 1, независимо от исходных данных, (т.е.шкалы): z=0; Sz=1.