Ваш психолог. Работа психолога в школе.

19. СРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК

Сравнение средних значений не всегда позволяет составить полную картину изучаемого явления, т.к. средние значения ГС могут быть статистически одинаковыми, а дисперсии статистически различными. Это будет означать, что данные одной ГС имеют больший разброс, чем данные другой ГС. Поэтому после сравнения средних значений нужно решать задачу сравнения дисперсий, для чего воспользуемся общей схемой проверки статистической гипотезы.
1 этап. Выдвигаются две статистические гипотезы. Основная нулевая о том, что дисперсии двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы и альтернативная о том, что эти дисперсии статистически различны.
2 2
Н0: х = у
2 2 2 2
Н1: х / = у, где х – дисперсия первой ГС, у – дисперсия второй ГС.
2 этап. Выбираем уровень значимости .
3 этап. Вычисляем наблюдаемое по двум исходным независимым выборкам необязательно одинакового объема х1, х2, …, хn у1, у2, …, уm .
2 2
Вычисляем дисперсии: Sx Sy. Тогда наблюдаемое значение статистики критерия вычисляется по следующей формуле:
2 2
Fнабл. = Sx : Sy
4 этап. Находится критическое значение статистики критерия. В нашем случае статистика критерия имеет F-распределение Фишера со следующими степенями свободы: 1 = n – 1 2 = n – 1. Т.к. распределение Фишера не является симметричным, то нам придется искать два критических значения F1 и F2.
Для F-распределения Фишера имеется не одна, а несколько статистических таблиц, т.к. оно зависит от двух параметров 1 и 2. Поэтому сначала мы должны выбрать таблицу соответственной величине: 1 - /2, (если таблица называется квантили распределения) или величине /2, (если таблица называется верхние процентные точки). После этого в выбранной таблице находят столбец, соответствующий числу степеней свободы 1 и 2. На пересечении выбранных строки и столбца будет находиться критическое значение F2.
Для нахождения критического значения F1 мы сначала должны найти промежуточное значение Fпр. Оно находится в той же таблице, что и F2, только сначала находится столбец, соответствующий числу степеней свободы 2 и строка, соответствующая числу степеней свободы 1. На пересечении выбранной строки и столбца будет находиться промежуточное значение Fпр., тогда F1 = 1/Fпр.
5 этап. Делаем вывод о правильности той или иной гипотезы по следующему правилу, если 1) F1 < Fнабл. < F2, то принимается нулевая гипотеза Н0, т.е. делаем вывод о том, что дисперсии двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы на уровне значимости . 2) если Fнабл. < F1 Fнабл. > F2 , то принимается альтернативная гипотеза Н1, т.е. делаем вывод о том, что эти дисперсии статистически различны на уровне значимости .

Примечание. Рассмотренный в этом параграфе критерий в литературе называется F-критерий Фишера.

20. СРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ДВУХ ЗАВИСИМЫХ (СВЯЗАННЫХ) ВЫБОРОК

Когда в качестве исходных данных рассматриваются две связанные выборки х1, х2, …, хn и у1, у2, …, уn (т.е. одинакового объема). Например, для данных типа «до-после» мы также можем рассматривать задачу сравнения дисперсий двух ГС. Для решения воспользуемся общей схемой проверки статистической гипотезы.
1. Выдвигаются две статистические гипотезы: Н0: о том, что дисперсии двух рассматриваемых ГС статистики одинаковы. Н1: о том, что эти дисперсии статистики различны.
2 2
Н0 = х = у
2 2
Н1 = х /= у
2. Выбираем уровень значимости .
3. Вычисляем наблюдаемое значение статистики критерия. Для этого
2 2
сначала вычисляем по исходным выборкам дисперсии Sx и Sy, а также коэффициент корреляции rху.

Пример: 95 учащихся 7 класса и эти же 95 учащихся в 8 классе были подвергнуты тестированию по Стентфордскому тесту. Экспериментатор хотел выяснить, будут ли характеристики учащихся (успеваемость) более постоянными (менее изменчивыми) в 7 или 8 классе. Так как в данном случае рассматриваются одни и те же учащиеся, то наши две исходные выборки х1, х2, …, х95 и у1, у2, …, у95 являются связанными выборками. Так как мы хотим выяснить изменчивость характеристик, то надо проверять гипотезу о равенстве дисперсии. Выбираем = 0,1. По исходным выборкам было вычислено, что 2 2
Sx = 134,56; Sy = 201,64; rxy = 0,876 . Вычисляем tнабл. =
2
(134,56 – 201,64) : (4 134,56 201,64) : (95 – 2) (1 – 0,876) = - 4,07
/2 = 0.1/2 = 0,05 (столбец); = 95 – 2 = 93 (строчка). По таблице находим tкр = 1,66

Если мы хотим сравнить два исследуемых показателя (или один и тот же, но для двух различных групп лиц по их уровню), то необходимо проверять гипотезу о равенстве средних значений. Если хотим сравнить изменчивость (разброс показателя), то необходимо проверять гипотезу о равенстве дисперсий.

21. АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ ПИРСОНА

Исследователя часто интересует, как связаны между собой два изучаемых признака в данной группе лиц. Например: имеют ли ученики, научившиеся читать раньше других, тенденцию к более высокой успеваемости? Связь между двумя признаками можно изобразить графически с помощью диаграммы рассеивания (рассеяния). Для ее построения на координатной плоскости каждый объект изображается точкой. Первая координата, которая соответствует значению первого признака для данного объекта, а вторая – значению второго признака для данного объекта. Для оценки связи между двумя признаками можно использовать ковариацию, которая обозначается Sxy и вычисляется по формуле:

Вычисленный таким образом коэффициент называется коэффициентом корреляции Пирсона.
Корреляционная связь отражает тот факт, что изменчивость одного признака находится в некотором соответствии с изменчивостью второго признака.
Корреляционная связь не может рассматриваться как свидетельство причинно - следственной связи. Она лишь говорит о том, что с изменением одного признака, как правило, происходят изменения второго признака, но находится причина изменения в одном из признаков или она находится за пределами исследуемой пары признаков, нам не известно.
Корреляционные связи различаются по форме, по направлению и по степени (силе) связи.
По форме. Корреляционная связь может быть прямолинейной и криволинейной. Примеры: прямолинейной может быть связь между количеством тренировок на тренажерах и количеством правильно решенных задач в контрольном эксперименте. Криволинейной может быть связь между уровнем мотивации и эффективностью выполнения задачи. При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем достигает некоторого оптимального уровня, который соответствует максимальной эффективности, а затем при повышении мотивации эффективность падает. В этих случаях диаграмма рассеивания

По направлению. Корреляционная связь может быть положительной (прямой) или отрицательной (обратной). При положительной корреляции возрастание значений одного признака приводит к возрастанию значений второго признака, а убывание значений одного признака приводит к убыванию значений второго признака. При отрицательной корреляции увеличение значений одного признака приводит к уменьшению значений второго признака и наоборот. В этих случаях диаграммы рассеивания выглядят следующим образом:

- 1 - 0,7 - 0,5 0 0,5 0,7 1
Коэффициент корреляции Пирсона является характеристикой линейной корреляционной связи. Например, rxy = - 0,35. Это линейная обратная умеренная. Rxy = 0,695. Это линейная прямая средняя связь.